Wie die mobile Web-App ganz neue Wege erschließt, Mathe durch Training zu lernen und echtes Können zu erwerben - für bessere Noten, Prüfungen und Karriere
Die Mathe-App schlau.app bietet SchülerInnen der Mittelstufe im Unterricht und für das Lernen zuhause praktisches und lockeres Mathe-Training, für jeden Lernstand. Das Üben am eigenen Handy kommt bei einzelnen und Lerngruppen bestens an. Ebenso kann mit schlau.app - da es eine Web-App ist - am digitalen Whiteboard im Klassenraum gearbeitet werden.
Erfahren Sie auf dieser Seite, wie schlau.app das Mathelernen fördert. Wie die Mathe-App im Unterricht eingesetzt werden kann und wie das innovative Tool seiner Mission Mathetraining mit Lehrwert gerecht wird – und das im Einklang mit Rahmenvorgaben.
"Dem Üben und Vertiefen kommt im Fach Mathematik eine wichtige Rolle zu, um sicheres und vernetztes Wissen zu erhalten. Produktives Üben dient der Vertiefung von Einsichten, der Geläufigkeit und geistigen Beweglichkeit."
Hier setzt schlau.app an: durch Übung erhalten die Lernenden sicheres Wissen, im Sinne von gewinnen. Und genau diesen Gewinn bietet schlau.app: Mathe-Training mit Lehrwert.
schlau.app, ein innovatives Tool im Matheunterricht, stellt sich auf dieser Seite vor
Für den Einsatz in der Schule gibt es mehrere Szenarien und Workflows:
Anzeige und Bedienung durch Schüler und Lehrer vor der Klasse, zum Beispiel an einem digitalen Whiteboard.
Arbeiten in Teams, z.B. in Tischgruppen. An einem Tisch sind unterschiedliche Niveaus und unterschiedliche Lerntempi möglich!
Individuelles Arbeiten der Lerngruppe, jeder/r für sich - mit Arbeitsaufträgen an der Tafel, per Zuruf oder auf einem Arbeitsblatt. [Beispiel]
Fortgeschrittene Schüler*innen können am Whiteboard für Schwächere das Matheüben moderieren - und bei allen Aufgaben Lösungen, Hilfestellung und den Explainer als Lehrer-Tools nutzen.
Ideal für Vertretungsstunden mit Nicht-Mathelehrern: für sie kann der Fachlehrer ein Arbeitsblatt erstellen.
Analog sind für das Lernen zuhause und für Mathe-Nachhilfe mehrere Szenarien möglich.
Digitaler Unterricht, Homeschooling: Online-Hausaufgaben z.B. via MS Teams können in wenigen Zeilen formuliert werden.
schlau.app im Matheunterricht: frontal, in Teams oder jede/r für sich!
Technik: bei manchen legacy Smartboards (Altgeräten) geht die Touch-Steuerung manchmal nicht glatt. Hier sollte die App vom PC aus bedient werden, mit jedem modernen Browser (kein IE). Doch auch dann, wenn der PC-Browser alt ist, gibt es Abhilfe: schlau.app ist auch über die PC-Tastatur - z.B. alt + für neue Aufgabe - ansteuerbar. Für das flüssige Arbeiten mit der Klasse ist das allemal die professionelle Option. Die Tastaturkürzel werden per Mouseover angezeigt.
Rechnen trainieren mit schlau.app - Anleitung, Workflow
Die Benutzeroberfläche ist ganz auf einfaches Arbeiten ausgerichtet. Jeder kann sofort mit der Mathe-App produktiv werden - Schüler wie Lehrer, Eltern wie Nachhilfelehrer. Es gibt keine Texteingabe, nur 4 Buttons:
+ neue Aufgabe ? Hilfe = Ergebnis 🔍 Explainer
Benutzeroberfläche der Mathe-App: Workflow. Neue Aufgabe, Help, Lösung, Explainer
+ bringt eine neue Aufgabe per Zufallsauswahl, mit oder ohne Themenfilter.
? zeigt eine Hilfestellung an. Diese kann eine allgemeine Rechenregel oder kontextuell sein, also mit den Zahlen der Aufgabe. Manchmal, z.B. bei zweischrittigen Aufgaben, ist der Tipp einfach der erste Schritt. Manchmal, bei mehrfachen Umformungen, geht die Hilfe bis 1 Schritt vor dem Ergebnis, so dass nur noch ausgerechnet werden muss. Es gibt keine Philosophie für die optimale Hilfe - wie im richtigen Leben.
= ist die Ergebnisanzeige. Diese ist im Standardfall eine einzelne Größe in einer extra Zeile. Bei Textaufgaben sind Aufgaben und Lösungen ganze Sätze. Das Ergebnis kann auch per Sprache ausgegeben werden. Beim kleinen Einmaleins heißt die Aufgabe z.B. 4 · 6 = ? und im Ergebnis wird die ganze Aufgabe zum Merken wiederholt: 4 · 6 = 24 - und verstärkend zum Merken kommt dieser ganze Satz als Sprache, wenn der Button 🔊 gedrückt wird
🔍 Der Explainer symbolisiert: "das schauen wir uns genauer an." Manchmal wird die Hilfe aufgestockt, so dass der ganze Rechenweg klar ist. Manchmal ist der Explainer ein Lehrtext, meist kontextuell. Bei einigen Aufgaben enthält der Explainer Merksätze mit Sprechempfehlungen, manchmal auch einen Merksatz als Sprachausgabe, s.u.
Der Workflow kann der Intuition der SchülerInnen folgen oder es werden Impulse gegeben - oder die Schritte werden auf einem Arbeitsblatt vorgegeben. Die Anleitung zum Trainieren hängt von der Selbstständigkeit der Schüler ab. Bei einigen funktioniert es, nur ein Ziel vorzugeben, bei anderen ist noch Hilfe zur Selbsthilfe angebracht.
Bei einigen Aufgabentypen gibt es einen Themenfilter. Wenn ein Thema ausgewählt ist, werden nur Aufgaben zu diesem generiert, andernfalls wird aus allen möglichen Kombinationen innerhalb des Aufgabentyps ausgewählt.
Hier eine Auswahl von Mathethemen, die zurzeit implementiert sind (September 2023). Sie werden laufend weiterentwickelt. Z.B. sind zuletzt die Praxis-Anwendungen beim kleinen Einmaleins hinzugekommen: warum nicht das Einmaleins für Flächenberechnungen nutzen oder für den Stromverbrauch oder, um ein Kinderplanschbecken zu füllen?
Die Links führen zu schlau.app, wobei die betreffende Rechenart schon voreingestellt ist ("Deep Links"). So ist der direkte Einstieg in ein Thema möglich, ein Vorteil bei Online-Hausaufgaben oder Online-Arbeitsblättern - wieder ein Vorteil des Web-App Designs.
+- EUR Kontostand, Ein- und Auszahlungen, neuer Kontostand. Geld (EUR, ct) gehört zu den Hauptgrößen (neben Länge und Zeit), bei denen laut Rahmenlehrplan mit Einheiten gerechnet werden sollte. (In Planung: Rechnen mit Euro und Cent, Wechselgeld, glatt wechseln sowie Zinsen) [Euro]
-a + b Plus und Minus auf dem Zahlenstrahl: das flüssige Rechnen mit positiven und negativen Zahlen ist absolut notwendig für praktisch alle Mathethemen der Mittelstufe. Ander als beim Rechnen in ℕ, wo auch Trivialaufgaben wie 12 + 13 mit dem Taschenrechner gelöst werden (leider!), nimmt bei Plus- und Minus-Summanden die Fehlerwahrscheinlichkeit auf dem Taschenrechner zu. Die Übung, das Rechnen mit plus und minus zu automatisieren (z.B.: - 12 - 13 =), ist für Mathe lebenswichtig. Übrigens ist bei dem Beispiel der Glaubenssatz "Minus und Minus gibt Plus" ein schwer ausrottbarer Schädling! Hier gilt: Üben hilft! Und beim Üben hilft wiederum das Zahlenstrahl-Modell, deshalb zieht es schlau.app im Explainer immer wieder heran. [add].
a -(-+b) Plus und Minus mit und ohne Klammern: hier kommen Klammern hinzu. Diese Aufgaben schriftlich bearbeiten und jeweils die Schritte sauber untereinander oder auch nebeneinander aufschreiben lassen:
Diese Aufgabe schriftlich mit Zwischenschritt!
Die Aufgaben sind mit denen des ersten Typs gemischt, so dass abwechselnd Terme mit und ohne Klammer generiert werden. [addsub]
1 x EINS Das kleine Einmaleins. Die meisten Unterthemen sind als mündliche Aufgaben gedacht, außer den Aufgaben mit Dezimalbrüchen. Die Aufgaben mit Einheiten können ebenfalls schriftlich gemacht werden, um das richtige Mitnehmen von Einheiten auch visuell zu festigen.[times]
"Plain Vanilla" - das eigentliche Einmaleins mit Faktoren von 2 bis 9. Hilfe: graphische Darstellung, Rechteck. Explainer mit Tricks, z.B. · 2, · 4, · 5, · 9
10 x 100, 100 x 1000. Einmaleins mit Zehnern, Hundertern, Tausendern. Hilfe und Explainer. Hilfe z.B. 60 · 200 = 6· 2 · 10 · 100 = ...
0,1 x 0,001. Einmaleins mit Dezimalbrüchen bis 0,001
1 x 1 mit negativen Faktoren (-5) · 3 - die 4 Fälle im Überblick
Division mit Probe. Verschiedene Geteilt-Zeichen ":", "/", Bruchstrich
Flächenberechnung: Meter, Quadratmeter
Kinderplanschbecken füllen: Menge = Durchfluss mal Zeit
Ohmsches Gesetz: Spannung = Strom · Widerstand
Leistung = Spannung mal Strom
Energie = Leistung mal Zeit
In Kürze: Stromkosten = Energie mal Zeit
Geplant: Multiplikation von 11 bis 19, Trick mit Hilfe des kleinen Einmaleins
Beispiel für Einmaleins - Hilfe
Beispiel für Einmaleins - Explainer
Die letzten drei Anwendungen (Strom, Spannung, Energie) zeigen, dass die Einmaleinsübungen auch für Spätberufene gestaltet sind, für Schüler-/innen im 9. oder 10. Jahrgang, die schon 2-3 Jahre Physik haben, aber leider nicht die einfachsten Rechnungen durchführen können.
Bezug des kleinen Einmaleins zur Lebenswelt: bei der Auswahl "Plain Vanilla" - als einfaches, "klassisches" Einmaleins (ohne 10er, 100er etc.) bietet die Hilfe-Funktion zusätzliche eine Sprachausgabe an. Zufällig ausgewählt werden Beispiel-Textaufgaben geprochen. Das rote Rechteck, das für die 1x1-Aufgabe steht, dient dabei als Planfigur. Die Texte sind zunächst für die älteren 1x1-Lerner gedacht. Das flexible Design von schlau.app erlaubt es, beliebig viele Texte, länger oder kürzer, mit oder ohne Fun-Faktor, zu hinterlegen.
Ergänzende Sprachausgabe der Hilfe-Funktion des kleinen Einmaleins
x + a = b Plus-Minus-Umstellen, nach x auflösen. Dieser Rechenvorgang gehört wie die beiden o.a. Zahlenstrahl-Vorgänge zu den absoluten Basics und ist quasi deren Fortsetzung. Genau wie Plus-Minus-Rechnen mit Klammern sollten hier alle Schritte schriftlich gemacht werden. [lin1]
Reisen in Deutschland: Dreisatz mit Strecken und Fahrzeiten. "Von Bremen nach Münster sind es 172 km und die Fahrzeit mit PKW beträgt 2:07 Std. Wie lange würde, bei gleicher mittlerer Geschwindigkeit, die Fahrt von Berlin ins 316 km entfernte Köln dauern?"
Doppelter Dreisatz: Arbeitsleistung. Fliesenlegen bis ESt-Bescheide ablegen.
Backe-Backe-Kuchen: Rezepte nach Personenzahl skalieren.
Ähnliche Rechtecke: Längen und Breiten umrechnen, Rechtecke skalieren.
Das optimale Steigungsdreieck: Ähnlichkeit nutzen für Zeichengenauigkeit.
Konstante Geschwindigkeit m/s, km/h. Takeaway: mit Geschwindigkeiten rechnen.
a · x = b Mal-Geteilt-Gleichungen, nach x auflösen. So wie das Thema Proportion-Anteil-Dreisatz, s.u., ein inhaltliches Kernthema der Mittelstufe ist, so sind die Umformungen vom Typ
a · x = b a / x = b x / a = b
eine Kern-Fähigkeit der Mittelstufe. Erstens müssen in weiteren Mathe-Gebieten Terme umgestellt werden, und zwar additiv (plus-minus) und multiplikativ (mal-geteilt). Wenn das nicht sitzt, ist die Beschäftigung mit höheren Operationen wie Potenzen und Logarithmus eigentlich bizarr - und doch ist dieser Gegensatz oft Realität an unsere Mittelstufen.
Zweitens - und in der Praxis besonders wichtig: diese "Dreibuchstabengleichungen" sind das A und O in der Mittelstufen-Physik. Denn überall müssen lineare Terme umgestellt und lineare Gleichungen aufgelöst werden. Beispiel:
Elastische Kraft: F = k · x
Ohmsches Gesetz: U = I · R
Elektrische Leistung: P = U · I
Gleichförmige Bewegung: s = v · t
Konstante Beschleunigung: v = a · t
Zweites Newtonsches Gesetz: F = m · a
Energie und Leistung: Epot = m · g · h und P = F · v
Diese ganze Vielfalt bleibt SchülerInnen, die nicht umformen können, verborgen. Sie können nur über diese Dinge "diskutieren" und irgendwelche "Kompetenzen" pflegen, doch sie können diese Physik nicht betreiben - oder nur so, wie Heimat- und Sachkunde im 2. Jahrgang.
Das Trainieren mit schlau.app hilft, diesen Missstand zu beseitigen. Alle drei möglichen Gleichungen werden eingespielt, also x im Zähler oder Nenner und alles auch mit plus oder minus. Die genannten Praxisanwendungen in Physik sind Optionen beim Aufgabentyp kleines Einmaleins.
Mit diesem Aufgabentyp geht SchülerInnen das Auflösen von Dreibuchstaben-Gleichungen in Fleisch und Blut über. Lehrkräfte können die Beschäftigung mit diesem Umformen interdisziplinär anregen! Durch diese praktischen Skills entsteht echter Bildungswert - der Lehrwert, den schlau.app verspricht. [lin3]
ax + b = c Lineare Gleichungen auflösen. Dieser Aufgaben ist eine Kombination aus zwei früheren:
x + a = b & a · x = b ⇛ ax + b = c
Es geht immer darum, einen linearen Term = 0 zu setzen bzw. die Nullstelle einer linearen Funktion zu bestimmen. Das ist eine wichtige Standardaufgabe, die in vielen weiterführenden Kapiteln der Mittelstufe vorkommt – s. Abschnitt BBR/MSA Training. Wer diese Grundübung kann, muss bei den LGS nur noch die ersten 2 Schritte neu lernen, also Multiplizieren der Gleichungen (ggf.) und dann gleichsetzen, einsetzen oder addieren. Alles weitere kann mit dieser Übung perfekt vortrainiert werden, so dass sich SchülerInnen dann bei einem Thema wie LGS auf das eigentlich Neue konzentrieren können.
Und weil diese Fähigkeit wo wichtig ist, kommt das Nullstellen-Berechnen natürlich auch bei dem Aufgabentyp "Lineare Gleichungen" (s.u.) in der Zufallsauswahl vor. Bei schlau.app gehen also Aufgabentypen ineinander über, wie das in der Praxis der Fall ist und im Unterricht idealerweise auch. [lin2]
x / y Brüche kürzen. Dieser Aufgabentyp steht hier zwischen Themen zur Proportionalität - aber ist nicht Bruchrechnung ein Grundschulthema? In der Tat kann Bruchrechnung in der Mittelstufe nochmal anders rezipiert werden, als es in der Grundschule eingeführt wurde. Während Brüche anfangs oft als "kaputte Zahlen" gesehen werden, also als Nichtganzes, ähnlich wie Dezimalzahlen, muss in der Mittelstufe das Verständnis zu Proportionen vermittelt werden (s.u.). Brüche drücken Anteile und Verhältnisse aus. Dieses Verständnis ist bei höherem Rechnen wichtig, aber auch in der Physik, wie im Abschnitt PROP erläutert. (Vorerst gibt es bei schlau.app zu Brüchen nur das Kürzen, später kommt das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen hinzu. [frac].
PROZENT Auch dieser Aufgabentyp ist, wie die Bruchrechnung im Bereich der linearen Rechnungen einsortiert. Denn auch hier gilt es, nach der Grundschule, den Blick zu weiten. Während in der Grundschule brav um Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert ging, ist hier Prozent nur ein anderes Format für Proportionen und das Thema ist mit "Anteile und Prozent" überschrieben. Deshalb gibt es hier auch Sachfragen aus der Lebenswirklichkeit oder der Physik. Das bringt SchülerInnen als Takeaways Überblick-Info zu Themen, die sie in Medien immer wieder finden. [prozent].
Einkommen, Vergleich mit Durchschnitt. "Ömer erhält im ersten Lehrjahr 1150 Euro. Wie hoch liegt dieses Einkommen prozentual über dem Durchschnitt (2022: 1028 Euro)?"
Stromverbrauch von Haushalten. "Ein 4-Personen-Haushalt verbraucht im Jahr durchschnittlich ca. 3600 kWh Strom. Das sind 90 Prozent des Durchschnittsverbrauchs. Wie groß ist dieser? Gib die Energie in kWh an." Takeaway: EU-Länder, Bevölkerung
EU-Länder Budget für Bildung % ⇔ Euro pro Kopf. "In Griechenland (Bevölkerung 10.5 Mio.) werden jährlich 4.4% des Bruttoninlandsprodukts (BIP) von 20 Mrd. Euro für Bildung ausgegeben. Wieviel ist das pro Kopf der Bevölkerung?" Takeaway: EU-Länder, Bevölkerung
Umsatzsteigerung / Unternehmensgröße. "Die Firma Klein hatte 2021 einen Jahresumsatz von 1.6 Mio. und konnte diesen 2022 um 114000 steigern. Die Firma Gross erzielte 50 Mio. und verzeichnete 2022 ein Plus von 9 Mio. Welches Unternehmen hat prozentual mehr zugelegt?"
Preis und Rabatt. "Ein Produkt kostet 80.00 Euro und wird um 20% reduziert. Wie viel kostet das Produkt nach der Reduzierung?"
Prozentrechnung, Stromverbrauch: Hilfe
Prozentrechnung, Stromverbrauch: Explainer
Viele weitere Themen dieser Art sind geplant, gerade aus dem Bereich Energie und Umwelt, z.B. Energie pro Kopf, Anteil erneuerbare Energien pro Land, CO2 pro Land. Z.B. Einkommensverteilung in der Welt, demoskopische Daten in Deutschland. Z.B. weitere Themen zu Schule, Bildung, Ausbildung.
QUAD y(x) Nullstellen quadratischer Funktionen. Hilfe und Explainer stehen abwechselnd für die Lösung mit der pq-Formel oder mit quadratischer Ergänzung zur Verfügung. Die allgemeine Form wird mit der homogenen und der reinquadratischen Form abgewechselt. [quad]
Quadratische Funktionen: Hilfe bei der pq-Formel
Quadratische Funktionen: Hilfe bei der quadratischen Ergänzung
Der Einsatz von schlau.app im Unterricht erfordert keine Vorbereitungen. Es kann aber nützlich sein, einen Ablauf zu planen, etvl. ein Arbeitsblatt vorzubereiten und sich eine Reflexion der Trainigseinheit zu überlegen. Außerdem kann ein Follow-up, abhängig von Ergebnissen definiert werden.
Arbeitsblatt Kleines Einmaleins - Einführung
Arbeitsblatt Kleines Einmaleins - Aufgabenliste
Arbeitsblatt für das kleine Einmaleins: Anleitung
Ein Arbeitsblatt für einen Rechentyp von schlau.app kann so gestaltet werden, dass der Übebedarf auf einen Blick deutlich wird. Ein Arbeitsblatt mit Tabelle wurde in einer Stunde mit 24 Schülern bearbeitet, hier sind typische Ergebnisse:
schlau.app im Matheunterricht: kleines Einmaleins
Die Ergebnisse sind qualitativ unterschiedlich
Breitbandiger Bedarf, das Einmaleins muss komplett geübt werden.
Fast perfekt: Übebedarf bei der 5er- und der 7er-Reihe.
Ergebnisse über die Zeit inkonsistent: die SchülerIn war offenbar zeitweise abgelenkt. Eine Wiederholung wäre aufschlussreich.
Nur ganz wenig falsche Ergebnisse, der Rest sind Ausreißer, nicht signifikant.
Solche Durchgänge mit einer Rechenart liefern quantitative Ergebnisse wie auch Erfahrungen mit der betreffenden Lerngruppe. So kann es nach ersten Ergebnissen weitergehen:
Gruppen einteilen mit unterschiedlichen Arbeitsanregungen, je nachdem, ob der Bedarf speziell oder breitbandig ist.
Wenn alles gekonnt wurde, können wir zu den anderen Optionen des kleinen Einmaleins übergehen, z.B. mit Zehnern bis Tausendern oder mit Zehntel bis Tausendstel.
Wir können Hinweise zur Konzentration geben, wenn die Ergebnisse im zeitlichen Verlauf schwanken (s.o. Nr. 3)
Einige Schwächere können die Anleitung nicht selbständig umsetzen, verstehen es aber sofort, wenn man es ihnen vormacht. Auch muss man ggf. das Verwenden der Hilfe (manche Schüler raten lieber, wenn sie es nicht wissen!) sowie das Ankreuzen explizit anregen.
Insgesamt und auch bei anderen Rechentypen bietet dieses Vorgehen Schülern und Lehrern der Mittelstufe die Gelegenheit, Schwachstellen zu identifizieren und schrittweise auszumerzen, mit reproduzierbaren Ergebnissen. Damit werden komplexere Aufgaben, wie BBR- und MSA-Prüfungen, überschaubarer und verlieren ihren Schrecken, s. Abschnitt BBR/MSA.
BBR- und MSA-Aufgaben trainieren: von den Basics aus
Das Trainieren von Aufgaben, die in den Prüfungen zu erwarten sind, hat bei SchülerInnen höchste Priotät - auch im Verhältnis zu den anderen Erfolgsfaktoren wie Grundlagenwissen und Ruhe im Klassenraum, das ergab eine Umfrage am Ende der 9. Klasse. Das Ergebnis ist, auch wenn die Schüler-Intuition zu diesem Zeitpunkt noch etwas naiv ist, vernünftig. Im Gegenteil wäre es naiv zu glauben, dass man nur den Stoff lernen muss und dann würden die Prüfungen erfolgreich sein.
Umfrage: Erfolgsfaktoren für den Matheunterricht
Alle Fakultäten, egal, ob Mediziner, Juristen oder Physiker trainieren direkt die Prüfungssituation. Doch wie sieht das effektivste Training aus im Bereich der schwächeren Schüler, die im Grunde überhaupt nicht auf dem Niveau des Lehrplans sind, aber für die man sich doch mindestens ein "Ausreichend" wünscht?
Praxis ist häufig, möglichst viele Aufgaben mit der Klasse durchzurechnen. Dabei kann es aber vorkommen, dass Schwierigkeiten einzelner, für allem Schwächerer, übersehen werden. Vor allem, weil diese Klientel weniger dazu neigt, auf der Sachebene Fragen zu stellen und Aufklärung einzufordern, wo etwas unklar ist. Das ist auch verständlich, denn einem Teil der Klasse - in Integrierten Sekundarschulen jedenfalls - ist das allermeiste unklar, der Faden ist weg. Und da dies oft schon seit Jahren so ist, hat sich das "nicht fragen" verfestigt - und damit die Gewohnheit, Aufgaben vorgerechnet zu bekommen, die man bestens teilweise versteht. Und es sind immer dieselben Teilthemen (z.B. Umstellen, Bruch vereinfachen), die man nicht versteht.
Das kapier ich einfach nicht, Mathe war noch nie mein Ding
Hier kann nur helfen, diese Unwissensgebiete von der Basis her aufzubohren. Und damit auch die Kommunikationsabwehr zu durchbrechen. Alle Schritte dorthin müssen niederschwellig sein. Und genau das ist die Philosopie von schlau.app. Die SchülerInnen kommen niederschwellig ins Tun. Skills entwickeln sich, damit Selbstbehauptung, damit Kommunikation - und das Lerntempo nimmt zu.
Hier ein Beispiel, wie wir schlau.app einsetzen können, um den Wissenszuwachs beim Trainieren von komplexeren Aufgaben zu steigern und das Erreichte zu festigen, wobei es wieder um die schwächeren SchülerInnen gehen soll: Auflösung linearer Gleichungssysteme, Stoff häufig im 9. Jahrgang. Die typischen Klippen:
Gleichsetzungs-, Additions- oder Einsetzungsverfahren anwenden (teils auch die Auswahl treffen).
Für x oder y die Variablenterme und die Zahlen auseinanderhalten und sortieren.
Terme zusammenfassen
Als letzten Schritt noch "mal-geteilt" rechnen, z.B. 3x = -6
Der Ergebnisbruch wäre noch zu kürzen
Die Schwächeren sind meist in der Lage, das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden, also den ersten Schritt zu meistern. Aber in den folgenden Schritten, wo es ums Terme-Umstellen und Ausrechnen geht, vertun sie sich, zumal unter Prüfungsstress. Hier hilft das systematische Trainieren von einelnen Mathe-Skills aus dem Programm von schlau.app! Hier die Buttons:
x + a = b ist zuständig für das Umstellen. Denn es werden alle Vorzeichenfälle geübt. Kein Stress mit etwas wie -x + 3 = -5!
a - (-+ b) sichert das Zusammenrechnen der gleichartigen Terme.
a · x = b übt den letzten Schritt ein, auch mit Real-Life-Aufgaben wie dem Verteilen von Döner und Falaffel.
x / y erinnert an das Brüche Kürzen, damit nicht ein Ergebnis wie 6/3 stehen bleibt.
Diese Anregungen erscheinen manchem trivial. Doch in der Lebenswirklichkeit das Matheunterrichts kommt es schon vor, dass Themen trainiert werden, ohne dass die eigentlichen Knackpunkte identifiziert werden. So könnte die Beurteilung eines Misserfolgs sein: "Nun ja, lineare Gleichungssysteme sind schon recht abstrakt". In Wirklichkeit müssen aber keine "abstrakten" (etwa: wenig anschauliche) Aufgaben gelöst werden, sondern es stehen einfach zwei kleine Gleichungen da, vom Typ her seit mehr als einem Jahr bekannt. Der Misserfolg, das vermeintliche "zu schwer", kommt dann einzig daher, dass Gundlagen nicht da sind. Es ist so, wie wenn einer beim Turnen immer wieder die Übung am Schwebebalken vermasselt - bis sich herausstellt, dass er schon auf dem Boden nicht laufen kann!
A gymnast on the balance beam, failing because he is clumsy (Dall-E-2)
Für die Schwächeren ist es also unbedingt zu empfehlen, diese Grundlagen separat üben. Das Schöne mit schlau.app ist ja, dass sie dies auch separat im Klassenraum tun können: während die in Mathe Fitten sich z.B. mit der geometrischen Darstellung verschiedener Fälle beschäftigen, können die Schwächeren mit dem Handy an ihren Grundlagen-Defiziten arbeiten.
Eine Lerngruppe mit schlau.app im Mathematikunterricht - "Multi-level practising" ist kein Problem.
Proportionen, Kernthema der Mittelstufe: Training und Lehrwert mit schlau.app
Die Themen der Mittelstufe werden im Rahmenlehrplan durchaus im Hinblick auf die Verwertbarkeit im Leben vorgestellt. In der Wirklichkeit des Matheunterricht kann aber, gerade durch bemühte Umsetzung des Lehrplans, der Blick aufs Ganze verloren gehen. Ein Überthema der Mittelstufe ist die Proportion, der Anteil, das Verhältnis. In vielen Mathethemen im Lauf der Jahrgänge 7 bis 10 geht es darum, zu verstehen, was Proportionen sind, z.B. Dreisatz, Proportionale Zuordnungen, Strahlensatz, Bruchrechnung, Prozentrechnung, Steigungsdreieck. Wie wäre es, wenn SchülerInnen ein intuitives Verhältnis dafür entwickeln können, was Anteile sind und wo auch immer in der Lebenswirklichkeit es um Anteile geht? Ein solches Verständnis wird von Rahmenlehrplänen immer wieder eingefordert:
"Der Mathematikunterricht befähigt die Schülerinnen und Schüler, ausgehend von ihren mathematischen Vorerfahrungen Zusammenhänge zu erkunden, Strukturen zu untersuchen, Beziehungen zwischen Begriffen aufzudecken, Vorgehensweisen und Darstellungsformen zu finden und begründet auszuwählen."
Doch wie lernen SchülerInnen, "Beziehungen aufzudecken?". Aus eigener Kraft ist das schwer möglich! Und häufig geht im Unterricht der Blick auf Beziehungen und Themenverwandschaften verloren, und im Grunde verwandte Themen werden disjunkt abgearbeitet.
Beispiel Strahlensatz: wer checkt schon, dass hinter dem mystischen Gebilde ZA'/ZA eine Zahl steckt, eben eine Proportion, ein Verhältnis aus Strecken, die angegeben sind, oder, die man messen kann? Auch, dass diese Zahl ein Bruch ist, den man auf dem Taschenrechner in eine "richtige" Zahl verwandeln kann, bleibt im Nebel.
Beispiel Steigungsdreieck: wer checkt schon, dass das Mysterium Steigungsdreick viel mit früherem Lernstoff der Mittelstufe zu tun hat, wie Ähnlichkeit und auch wieder Strahlensatz?
Hallo! Wer checkt das? Viele SchülerInnen der Mittelstufe sind mit solchen Darstellungen überfordert - und Erwachsene ebenso 😉
Diese Einsichten zu erklären, ist tägliches Brot der Mathematiklehrer in der Mittelstufe, sie sind auch versiert darin. Und schlau.app hilft hier den Mathelehrkräften, die Einsichten auch einzuüben. Der Themenkomplex "Anteil - Verhältnis" kommt - sozusagen interdisziplinär - in verschiedenen Aufgabentypen von schlau.app vor, s.o. die Themen unter PROP und PROZENT
Hier bekommen SchülerInnen durch eigenes Tun ein Gefühl dafür, dass Einkommensvergleiche und Stromverbrauch-Rechnungen die gleiche Mathe-Basis haben, oder Vergleiche von ICE-Fahrstrecken mathematisch mit dem Kuchenbacken und mit der Konstruktion eines Steigungsdreiecks zusammenhängen.
Sprache im Mathematikunterricht: was kann eine Mathe-App beitragen?
"Kinder mit Schwierigkeiten im Rechnen können zwar oft mithilfe von konkreten Materialen eine Handlung durchführen, diese jedoch nicht beschreiben."
Besonders in der Mittelstufe, wo qualitativ neue Einsichten vermittelt werden sollen (z.B. von Zahlen und Operationen zu Verhältnissen und Funktionen), müsste auch die Sprache sich entwickeln. Doch leider passiert das in manchen schulischen Umfeldern nicht. So haben Grundkurse in sozial und ethnisch vielfältigen Klassen, etwa in Integrierten Sekundarschulen, schon bei ganz grundlegender Kommunikation ihre Herausforderungen. Wie kann sich da Fachsprache entwickeln?
Gibt es dann wenigstens einen umgangssprachlichen Austausch im Fach Mathe? Leider oft auch nicht. Gerade die Schwächeren in Mathe sind oft "sprachlos". Es mag daran liegen, dass die Sprachentwicklung in Mathe zu wenig gepflegt wird und auch umgangssprachlich weder Wortschatz noch Übung vorhanden sind. Über mathematische Objekte und Methoden lernen Schüler nicht zu sprechen. Sie lernen in Deutsch Erlebnisse oder Tätigkeiten zu beschreiben, aber Mathe scheint ohne Inhalte zu sein, die der Rede wert wären. "Sprachentwicklung" meint meist Fachsprache - doch schon ein umgangssprachliches Sprechen, also lediglich "Sprechentwicklung" wäre ein Fortschritt!
Wenngleich der Matheunterricht an unsere Schulen ein Defizit in Sprachenwicklung hat, so gibt es erschwerend noch externe Faktoren, zumal in Brennpunktschulen.
"Immer mehr Kinder verfehlen die Mindeststandards in Deutsch und Mathematik - jedes fünfte Kind ist bereits am Ende der Grundschulzeit abgehängt" (IQB 2022) "Eine jetzt vorgelegte Analyse ... zeigt, dass die Lage in vielen Teilen Deutschlands noch viel schlimmer ist." Und Vera-3 zeigt, "dass die Anzahl der Kinder, die den Mindeststandard im Lesen nicht erreichen, mit jeder Stufe im Sozialindex zunimmt"
Sprachdefizite werden hauptsächlichlich bezüglich allgemeiner Sprachverwendung erforscht. Ergebnisse zur Sprachdefizite in Bezug auf Mathe gibt es bislang wenige (s. z.B. Inhalte und Datum bei der Google Suche: sprachdefizite mathe). Wenn man versuchsweise die Mathe-Sprachfähigkeiten von Mittelschülern mit den Kriterien des Europäischen Referenzrahmens für Sprachen beurteilte, so würde man, was aktive Sprachbeherrschung betrifft - zumindest in Multi-Kulti-Schulen - auf A1, bestenfalls A2 kommen. B2 wäre selbst im 10. Jahrgung nur wenigen vorbehalten.
Sprache muss deshalb bei jedem neuen Tool bewusst berücksichtigt werden. Sonst würde man die Versäumnisse im bisherigen Unterricht mit neuen Mitteln fortsetzen.
Leichtere Sprache: es wird eher Umgangssprache verwendet. Damit heben sich Lehrinhalte und Tipps in schlau.app im Sprachstil von vielen Lehrbüchern ab. Teils werden Wörter der Fachsprache vermieden, teils durch gängigere ersetzt. Zum Beispiel wird das Ungetüm "Äquivalenzumformung" nicht verwendet (es ist überdies unlogisch bzw. ein Pleonasmus, denn was wären “nicht äquivalente Umformungen”?) und stattdessen Begriffe wie Plus-Minus-Umstellen und Mal-Geteilt-Umstellen verwendet. Hier steckt im Begriff das Tun statt verwaltungssprachlicher Kategorisierung. Grundbegriffe wie "Addieren" werden jedoch verwendet, obwohl viele Schüler von Plus-Rechnen sprechen. Es ist immer ein Balanceakt zwischen Aktzeptanz und Erziehung.
Operatoren, wie sie SchülerInnen von Klassenarbeiten und Prüfungen gewohnt sind, werden verwendet: "Gib die Länge eines ähnlichen Rechtecks mit der Breite 8.0 cm an", "Gib die Energie in kWh an", "Berechne ..."
Jedoch werden auch Ausnahmen gemacht, wenn es um den Bezug zur Lebenswelt geht: "... Wieviel ist das pro Kopf der Bevölkerung?",Ich habe eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 76 km/h und muss 57 km fahren. Wie lange brauche ich? ""
Sprech-Ermunterung: in der Hilfe oder im Explainer werden Modellsätze zum Sprechen empfohlen. Im Unterricht könnte die Lehrkraft die Motivation fördern, diese oder andere Sätze aktiv zu üben - oder sie als Anregung für eine Diskussion nehmen.
Sprachausgabe: ein Ergebnis oder ein Satz im Explainer ist direkt per Sprach-Button abrufbar. Im Beispiel spricht eine Frauenstimme: "neun mal minus fünf gleich minus fünfundvierzig".
Die Sprachausgabe ist neu, August 2023, und daher erst in wenige Aufgabentypen eingebaut. Das Potential für künftige Einsätze ist jedoch immens, gerade bei einer Mathe-App mit kontextuellen Texten bei Hilfe und Explainer, denn damit können auch die Sprach-Hilfe und gesprochene Erklärsätze kontextuell sein. Solche Features sind in der Gaming-Welt allgegenwärtig, in der Welt der digitalen Lerntools aber weniger. Gamification ist jedoch bei digitalen Tools erfolgreich und deshalb wird es die kontextuelle Sprachausgabe auch sein.
Sprachformeln und Sprachaufforderung
Sprachbutton: "neun mal minus fünf gleich minus fünfundvierzig"
Die Sprachoptionen enthalten auch die Übersetzung ins Englische: weil schlau.app eine Web-App ist, kann mit Chrome die Übersetzung genutzt werden. Diese Funktion kann für einige SchülerInnen das Verständnis von Textaufgaben erleichtern, z.B. für UkrainerInnen, die häufig immer noch Englisch besser als Deutsch verstehen. Funktion: in Chrome mit rechter Maustaste.
Wie passt der Unterricht mit schlau.app zu Rahmenlehrplänen?
In der Themenvielfalt von schlau.app werden viele Anforderungen des Rahmenlehrplan Teil C von Berlin und Brandenburg aufgenommen, umgesetzt und unterstützt. Vor allem durch die Explainer der Aufgaben. Zu den recht ausführlichen Texte des RLP möchten wir hier nur die Punkte nennen, die durch schlau.app ziemlich genau getroffen werden.
"Flexibles automatisiertes Lösen der Aufgaben des kleinen 1x1": was immer flexibel hier heißt, diese Kernanforderung wir von schlau.app perfekt aufgenommen, vor allem durch die Varianten mit 10, 100 etc. und die Real-World-Varianten (z.B. Flächen berechnen) unter 1 x EINS
"Situationsangemessenes Verwenden der Einheiten ... (Länge, Zeit, Geld)": diese Anwendungen der Grundrechenarten (im Unterricht oft übersehen) kommen systematisch in schlau.app vor
dito "in Sachkontexten": es gibt in der Mathe-App viele Themen mit Real World Bezügen, auch neue, zeitgemäße, wie Energieverbrauch.
"Im Rahmen des Mathematikunterrichts erwerben die Schülerinnen und Schüler eine Vielzahl mathematischer Strategien zur Bewätigung von Alltagssituationen, überdenken dadurch ihre Einstellungen und optimieren ihr Handeln im Bereich der Alltagskompetenz und Lebensökonomie."
"Darstellen von Sachverhalten (auch innermathematische) durch Terme und Gleichungen" und "Beschreiben und Interpretieren von linearen Zusammenhängen und ihrer Darstellungen in Alltagssituationen: die Standkompetenz, aus Sachverhalten mathematische Ausdrück zu erstellen und mit diesen zu rechnen, wird in den Textaufgaben von schlau.app geübt, z.B. bei PROP , PROZENT und 1 x EINS
"Operationsvorstellungen und Rechenstrategien", z.B. "Nutzen des Zusammenhangs a-n = 1 / an, um Potenzen mit negativen Exponenten auf bekannte Strukturen zurückzuführen.": findet sich in Explainer-Texten zu Potenzen.
"Bestimmen und Beschreiben von Merkmalen linearer Funktionen der Form y = ax + b": diese in Klassenarbeiten und Mathe-Prüfungen häufigen Fragen gibt es beim Aufgabentyp LINEAR y(x) - rund um lineare Funktionen.
"Ausgehend von den Rechengesetzen für Zahlen entwickeln die Schülerinnen und Schüler ein Verständnis für das Operieren mit Variablen"
Das kann fast als Leitgedanke des Rahmenlehrplans für die Mittelstufe aufgefasst werden. Und um mit Variablen umgehen zu können, müssen "Fähigkeiten und Fertigkeiten" (Lehrplan-Deutsch, und diese werden auch "Kompetenzen" genannt) wie Grundrechenarten, Kopfrechnen, Terme umstellen wirklich gekonnt werden. Diese Kompetenzen können aber paradoxerweise gerade wegen des Lehrplans - nämlich wegen zu starker Lehrplanfixierung im Unterricht - verhindert werden! Dabei wird das Einüben vom Lehrplan explziert gefordert. Wie oben bereits zitiert:
"Dem Üben und Vertiefen kommt im Fach Mathematik eine wichtige Rolle zu, um sicheres und vernetztes Wissen zu erhalten."
Hier leistet schlau.app den erfolgsentscheidenden Transfer: vom Erklären zum Üben. Vom Wissen – bzw. "Durchgenommen haben" – zu echtem Können. Echtes Können braucht Übung und das ist die Kompetenz von schlau.app. Denn mit Üben allein ist es nicht getan: es muss niederschwellig sein, damit es bereitwillig gemacht wird. Und: die Übeziele müssen stimmen. schlau.app konzentriert sich auf die Kernthemen, die, wenn sie gekonnt werden, die ganze Vielfalt, die in Lehrplänen aufgeschrieben wird, erschließen.
Dynamische Arbeitsblätter sind das Vorgängerprojekt von schlau.app und beinhalten einige Aufgaben der Mathe-App, wie -a + b , a - (-+b) , a · x = b und frac . Außerdem gibt es ein Arbeitsblatt für kurze oder Basisaufgaben aus den schriftlichen BBR- und MSA-Prüfungen, kuratiert aus Prüfungen seit 2017.
Die Arbeitsblätter werden durch schlau.app nicht redundant, sondern können die App ergänzen. Z.B. können sie im Workflow vor schlau.app geschaltet werden: bei einem Aufgabendtyp erhalten weniger selbständige Schüler das entsprechende Arbeitsblatt. Es werden diejenigen Aufgaben markiert, die für die SchülerIn passend sind. Wenn diese Aufgaben erledigt wurden und eine erste Routine entstanden ist, z.B. das komplette Hinschreiben von Aufgabe, Zwischenschritt und Ergebnis, dann geht die Arbeit über zu schlau.app, wo die SchülerIn dann ohne weitere Einführung starten kann.
Oder: für eine Assistenz mit "über die Schulter schauen" sind die Arbeitsblätter besonders geeignet und für das eigenständige Arbeiten ist es die App in der Hand der SchülerInnen.
Arbeitsblatt für Mal-Geteilt-Rechnen.
Die Arbeitsblatt-Seiten sind dynamische Seiten mit Matheaufgaben, die sich bei jedem Aufruf ändern (Statistisch ist jedes bisher erzeugte Arbeitsblatt ein Unikat!). Dennoch sind die Webseiten so formatiert, dass sie als PDF ausgedruckt oder gespeichert werden können.
Auch hier, wie bei schlau.app: das wichtige sind nicht Ergebnisse zählen nicht, sondern die zu lernenden Prozesse. Am Ende jeder Aufgabensammlung sind die Lösungen nummeriert aufgeführt. Sie erscheinen beim Ausdrucken auf einer extra Seite, so dass im Unterricht die Matheaufgaben als Test auch ohne Lösung verteilt werden können.
So können auch für abschreibsichere Tests alternative Arbeitsblätter (z.B. in der Reihe links und rechts) erzeugt werden: einfach als PDF ausdrucken, Seite neu laden, wieder ausdrucken bzw. abspreichern unter anderem Namen.
Das Konzept von schlau.app, Vergleich mit Bekanntem
Das Konzept Mathe-Training mit Lehrwert bezieht sich auf die technischen Features von schlau.app, auf die Anwendung der Mathe-App im Unterricht und auf die Art der Wissensvermittlung sowie auf Ideen und Pläne zur Weiterentwicklung des Einsatzes. Es beinhaltet die Vision des Einsatzes im Unterricht und Ziele des Lernens und des Training-Verhaltes. Und es beinhaltet die Schritte zu diesen Zielen.
Nachdem viele Elemente das Konzepts auf dieser Seite präsentiert wurden, könnte die Frage sein: Wie stellt sich das Ganze dar mit Blick auf schon bekannte Techniken und Tools?
Mathe-Apps im Vergleich
Moderne Mathe-Apps stellen dynamisch generierte Aufgaben zur Verfügung, wenngleich viele noch immer einen festen Vorrat an Aufgaben einspielen. Oft ist der Workflow:
schlau app geht einen anderen Weg, was damit zu tun hat, dass die Grundlagen im Vordergrund stehen. Bei Basisaufgaben wie 7 * 8 = oder 3 - (-10) = lassen sich falsche Ergebnisse kaum in hilfreiche Erklärungen ummünzen. Der erklärtechnische Aufwand würde in keinem Verhältnis zur Einfachheit der Aufgaben stehen - und die Zielgruppe mehr überfordern als unterstützen. Bei schlau.app steht der Prozess in Vordergrund und nicht die einzelne Lösung. Wer das kleine Einmaleins kann, macht alle Aufgaben richtig. Und wer mit positivem negativen Zahlen rechnen kann, macht beim Addieren von Plus- und Minus-Posten keine Fehler mehr.
Statt der Richtig-falsch-Verarbeitung einer Eingabe gibt es den Hilfetext und den Explainer, wie oben erläutert.
schlau app setzt auf niederschwelliges und kontinuierliches Arbeiten als oberste Priorität. Der Stift muss sich gleichmäßig über das Papier bewegen. Die Technik der App unterstützt dieses Ziel. Dieses Vorgehen motiviert SchülerInnen, sie arbeiten aus eigenem Antrieb weiter.
Wissensvermittlung im Vergleich
Von den bekannten Konzepten hat Flipped Classroom Gemeinsamkeiten mit den hier vorgestellten Einsatz-Ideen von schlau.app. Die Hauptidee ist es, die Routinearbeiten und das, was an Problem Solving alleine machbar ist, per E-Learning zu schaffen und den Unterricht für die eigentlichen Aufgaben, die Denken auf höherem Niveau erfordern, mit dem Lehrer und den Mitschülern im Klassenunterricht anzugehen.
Dieses Stufen-Vorgehen kann mit Bezug auf Blooms Taxonomie formuliert werden, in der Cognitive Domain: die ersten Stufen, nämlich das Erinnern und Verstehen, werden mit digitalen Medien - in unserem Fall schlau app - erklommen, die weiteren - wie Anwenden, Analysieren und Bewerten - finden im Unterricht unter Lehrkraft-Steuerung statt.
Im gängigen Unterricht werden diese Bereiche häufig verwechselt. Eine SchülerIn sagt: "können Sie mir das erklären?", aber es wurde bereits alles erklärt! Es geht ums Tun und das hat eben nicht stattgefunden. Welche Lehrkraft kennt das nicht?
Sicher ist es Aufgaben von Pädagogen, auch das Tun an sich zu motivieren. Doch ab der Mittelstufe muss der Schwerpunkt ins Fachliche übergehen. Hierzu ist Flipped Classroom ein erfolgreiches Konzept, es fördert die Selbständigkeit. Und schlau.app geht passt genau zu diesem Vorgehen.
Ein Ziel des "umgekehrten Unterrichts" ist es, die Zeit mit der Lehrkraft nicht mit Dingen zu verbrauchen, die SchülerInnen allein machen können - und so diese wertvolle Ressource frei zu haben für höhere Operationen, die Führung und Erklärungen erfordern. Dieses Ziel ist verwandt mit den vorgestellten Ansätzen von schlau.app auf dieser Seite.
